Matematicienii au descoperit o nouă nouă dovadă pentru una dintre cele mai faimoase idei neprobate din matematică, cunoscută sub numele de conjectură twin. Dar traseul pe care l-au întreprins pentru a afla că probele probabil nu vor ajuta la dovedirea conjecturii gemene.
Conjectura twin prime este despre cum și când numerele prime - numere divizibile numai de la sine și 1 - apar pe linia numerică. „Primele gemene” sunt primele care sunt la doi pași unul de celălalt pe linia respectivă: 3 și 5, 5 și 7, 29 și 31, 137 și 139 și așa mai departe. Conjectura twin prime afirmă că există infinit de multe prime gemene și că veți continua să le întâlniți, indiferent de cât de departe se află linia numerică. De asemenea, se afirmă că există infinit de multe perechi prime cu toate celelalte diferențe posibile între ele (perechi prime care sunt la patru pași una de alta, opt pași una de alta, 200.000 de pași, etc.). Matematicienii sunt destul de siguri că acest lucru este adevărat. Se pare că este adevărat. Și dacă nu ar fi adevărat, ar însemna că numerele prime nu sunt la fel de întâmplătoare așa cum credeau toți, ceea ce ar încurca multe idei despre modul în care numerele funcționează în general. Dar nimeni nu a reușit niciodată să o dovedească.
S-ar putea să fie mai aproape acum decât oricând. Într-o lucrare publicată pe 12 august în jurnalul de tipărire arXiv, după cum a relatat prima dată Quanta, doi matematicieni au dovedit că conjectura geamănă primă este adevărată - cel puțin într-un fel de univers alternativ.
Asta fac matematicienii: lucrează spre dovezi mari, dovedind idei mai mici pe parcurs. Uneori, lecțiile învățate din aceste dovezi mai mici vă pot ajuta cu dovada mai mare.
În acest caz, matematicienii Will Sawin de la Universitatea Columbia și Mark Shusterman de la Universitatea din Wisconsin au dovedit o versiune a conjecturii gemene prime pentru universul alternativ al „câmpurilor finite”: sisteme de numere care nu merg la infinit precum linia numerică, dar, în schimb, faceți-vă înapoi pe ei înșiși.
Probabil că întâlniți un câmp finit în fiecare zi pe fața unui ceas. Merge 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 și apoi se întoarce înapoi la 1. În acel câmp finit, 3 + 3 sunt egale cu 6. Dar 3 + 11 = 2.
Câmpurile finite au polinoame sau expresii precum „4x” sau „3x + 17x ^ 2-4”, a spus Sawin pentru Live Science, la fel cum o fac numere obișnuite. Matematicienii, a spus el, au aflat că polinoamele pe câmpuri finite se comportă la fel ca întregi - numerele întregi de pe linia numerică. Declarațiile care sunt adevărate despre numere întregi tind să fie, de asemenea, încredere în polinoame pe câmpuri finite și vice-versa. La fel cum numerele prime vin în perechi, polinoamele vin în perechi. De exemplu, gemenii din 3x + 17x ^ 2-4 sunt 3x + 17x ^ 2-2 și 3x + 17x ^ 2-6. Și lucrul frumos despre polinoame, a spus Sawin, este că, spre deosebire de numerele întregi, atunci când le tramați pe un grafic, acestea creează forme geometrice. De exemplu, 2x + 1 creează un grafic care arată astfel:
Iar 5x + x ^ 2 face un grafic care arată astfel:
Deoarece polinoamele conturează formele, mai degrabă decât punctele pe care le obțineți atunci când creați numere prime individuale, puteți utiliza geometria pentru a demonstra lucruri despre polinoame pe care nu le puteți dovedi despre numere întregi simple.
„Nu am fost primii oameni care au observat că puteți utiliza geometria pentru a înțelege câmpurile finite”, a spus Shusterman Live Science.
Alți cercetători au dovedit versiuni mai mici ale ipotezei twin primes despre anumite tipuri de polinomii pe câmpuri finite. Dar dovada lui Sawin și Shusterman a cerut cercetătorilor să se întoarcă și să pornească de la zero în multe privințe, a spus Sawin.
"Am avut o observație care ne-a permis să executăm un truc ... care a făcut geometria mult mai frumoasă, astfel încât să se aplice în toate aceste cazuri", a spus Shusterman.
Acest truc geometric, a spus el a dus la descoperirea lor: dovedind că această versiune specială a conjecturii gemene este adevărată pentru toate polinoamele de pe câmpurile finite, nu doar pentru unele dintre ele.
Știrile proaste, a spus Sawin, este că, deoarece trucul lor se bazează foarte mult pe geometrie, probabil că nu va fi posibil să se folosească pentru a dovedi conjectura gemenei în sine. Matematica de bază este doar prea diferită.
Și totuși, Shusterman a spus, dovedirea cazului câmpurilor finite este o nouă dovadă mare de adăugat la grămadă, înșelând matematicienii cu posibilitatea ca dovada pe care toată lumea o așteaptă să existe acolo undeva.
Este ca și cum ar fi vrut să vadă vârful unui munte abrupt înalt și, în schimb, și-au urcat drumul pe un alt munte în apropiere. Ei aproape pot vedea vârful îndepărtat, dar este învăluit în nori. Și traseul pe care l-au luat pentru a ajunge în vârful celui de-al doilea munte, probabil, nu va funcționa pe muntele de care sunt cu adevărat interesați.
Shusterman a spus că speră să continue să lucreze cu Sawin la problema gemelor primare și că este întotdeauna posibil ca ceva ce au învățat în realizarea acestei probe să se dovedească a fi important pentru a demonstra conjectura primului gemel până la urmă.
